Loi multinomiale

Formule

Loi multinomiale de paramètres $n\in{\Bbb N}^*,p_1,\ldots,p_r\in[0,1]$, avec $p_1+\ldots+p_r=1$ :
$n$ expériences aléatoires ont chacune $r$ résultats possibles de probabilités respectives $p_1,\ldots,p_r$
On note $X_i$ le nombre de fois où l'on obtient le résultat de type $i$
$$\begin{align}&{{(X_1,\ldots,X_r)\sim\mathcal{Mult}(n,p_1,\ldots,p_r)}}\\ \iff& P(X_1=n_1,\ldots,X_r=n_r)=\begin{cases}\displaystyle {{n!\prod^r_{i=1}\frac{p_i^{n_i} }{n_i!} }}&\text{si}\quad {{n_1+\ldots+n_r=n}}\\ {{0}}&\text{sinon.}&\end{cases}\end{align}$$
(Factorielle)
Remarque : $${{\frac{n!}{k_1!\cdots k_r!} }}={{\binom n{k_1}\binom{n-k_1}{k_2}\cdots\binom{ n-k_1-\ldots-k_{r-1} }{k_r} }}$$

Propriétés

Lien avec d'autres lois

$$\mathcal{Mult}({{n,p,1-p}})={{\mathcal{Bin}(n,p)}}$$
(Loi binomiale)

Exercices

Lors d'un congrés à Grenoble, $n$ chercheurs se répartissent de façon aléatoire et indépendamment les unes des autres dans les $r\gt 1$ hôtels, $H_1,\dots,H_r$ de la ville
On désigne par $p_i\in\,]0,1[$ la probabilité pour chaque chercheur d'aller dans l'hôtel $H_i$, de sorte que $\sum^r_{i=1}p_i=1$, et par $X_i$ le nombre de personnes qui vont dans l'hôtel $H_i$ pour $i\in\{1,\dots,r\}$
$X\sim\mathcal{Bin}(n,p)$. Déterminer $P(X_1=n_1,\dots,X_r=n_r)$ pour tout $r$-uplet $(n_1,\dots,n_r)$ tels que $n_1+\dots+n_r=n$

Identifier la loi + justification
On a $$(X_1,\dots,X_r)\sim\mathcal Mult(n,p_1,\dots,p_n)$$ car chaque $X_i$ représente le nombre de résultats de type $i$ (nombre de chercheurs dans $H_i$) parmi $n$ expériences indépendantes avec probas $p_1,\dots,p_r$ de donner le résultat $H_1,\dots,H_r$
Donc $$P(X_1=n_1,\dots,X_r=n_r)=n!\prod^r_{i=1}\frac{p_r^{n_i}}{n_i!}$$

Math'φsics

Formulaire de report

Formule

Propriétés

Lien avec d'autres lois

Exercices